xi e^{2\xi^2-1}}{e-1}f(1)$”

    还是不对，右边仍有$f(1)$。

    林澈感到额头渗出细汗。记忆就像隔着一层毛玻璃，能看到轮廓但看不清细节。他确定赵建国讲过这道题，确定答案用到了柯西中值定理，但具体怎么消去$f(1)$……

    “还有三十分钟。”赵建国的声音响起。

    教室里一阵骚动。时间压力开始显现。

    林澈强迫自己冷静。他盯着题目，一个字一个字地读：设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$。

    已知条件只有这些。要证明存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。

    这意味着，无论$f(1)$是多少，总能找到这样的$\xi$。

    一个想法突然冒出来：如果对任意的$f(1)$都能找到$\xi$，那么特别地，取$f(1)=0$时，由罗尔定理立即得证。但$f(1)$不一定为零……

    等等，可以构造一个新函数！

    林澈的笔尖在纸上疾书：

    “考虑函数$\varphi(x)=f(x)-\frac{f(1)}{e-1}(e^{x^2}-1)$。则$\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=f(1)-\frac{f(1)}{e-1}(e-1)=0$。

    对$\varphi(x)$应用罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$\varphi'(\xi)=0$。

    而$\varphi'(x)=f'(x)-\frac{2xf(1)}{e-1}e^{x^2}$

    故$f'(\xi)=\frac{2\xi f(1)}{e-1}e^{\xi^2}$

    又由$\varphi(\xi)=0$得$f(\xi)=\frac{f(1)}{e-1}(e^{\xi^2}-1)$

    两式消去$f(1)$，得$f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。证毕。”

    写完最后一个**，林澈长长舒了口气。

    他知道这不是标准答案，但逻辑严密，自洽。而且，这个解法展现了他对数学工具的灵活运用——构造辅助函数，利用罗尔定理，然后消去参数。

    他抬头看钟，考试开始四十分钟。教室里大部分人还在挣扎，前排的学霸张涛眉头紧锁，显然也被最后一题难住了。苏雨薇在检查卷子，但眼神有些飘忽。

    林澈开始从头检查。

    第一题，$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$。他盯着那个$\frac{3}{5}$，那种不对劲的感觉又来了。他重新计算：$\sin3x\sim3x$，$\tan5x\sim5x$，所以极限是$\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。

    但$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$吗？$\tan\theta\sim\theta$当$\theta\to0$，这里$\theta=5x\to0$，没错。

    可是……林澈闭上眼睛，前世赵建国讲解这道题的声音在脑中回响：“很多同学直接用了等价无穷小，但要注意，$\tan5x$在$x\to0$时确实是$5x$的高阶无穷小吗？我们严格计算一下……”

    对了！赵建国当时强调了不能直接用等价无穷小，因为分子分母是加减关系？不，这里是乘除，可以用。

    但教授说：“这-->>

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